Jakob Steiner

Jakob Steiner (né dans le village d'Utzenstorf, canton de Berne, en 1796-1863) est un mathématicien suisse, dont les contributions concernent principalement l’axiomatisation de la géométrie (dans la voie tracée par Christian von Staudt) et les applications de la géométrie projective à l’étude des sections coniques et des surfaces quadriques.

Biographie

Carrière académique

Élève à dix-huit ans de Johann Heinrich Pestalozzi, il a étudié à l’université de Heidelberg puis à Berlin, gagnant sa vie comme précepteur. Il a fait alors la connaissance de Crelle, qui, encouragé par ses capacités et par celles d’Abel, alors de passage à Berlin, fonda son célèbre Journal (1826).

Après la publication (1832) de son Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander, il a reçu, grâce au soutien de Jacobi, qui était alors professeur à l'université de Königsberg, un diplôme honorifique de cette université. Sous l'influence de G. J. Jacobi et des frères Alexander et Wilhelm von Humboldt, une nouvelle chaire de géométrie a été fondée pour lui à Berlin en 1834. Il a occupé ce poste jusqu'à sa mort, qui a eu lieu à Berne le 1er avril 1863.

La géométrie synthétique

Le travail mathématique de Steiner est essentiellement géométrique. Après les premiers succès de la géométrie projective, remise à l'ordre du jour par Poncelet et d'autres géomètres français, une opposition s'est fait jour vers 1830 en Allemagne entre les adeptes de la géométrie pure de Monge, et les algébristes, intéressés par la transcription algébrique de la notion de dualité (Plücker,

Möbius). Refusant le recours aux coordonnées, Steiner définit les droites par des notions d'alignement et les courbes par leur tangentes. C'est ainsi que dans son traité Systematische Entwickelung…, il a prolongé et systématisé des raisonnements de géométrie synthétique déjà apparents dans le Traité des coniques d'Apollonius de Perge. Dans ce livre, dont un seul volume est paru sur les cinq prévus, on trouve pour la première fois le principe de dualité présenté dès le début comme conséquence immédiate des propriétés les plus fondamentales du plan, de la ligne et du point.

Dans un deuxième petit livre Die geometrischen Constructionen ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises (1833), republié en 1895 par Arthur von Oettingen (de), il montre, ce qui avait été déjà suggéré par Poncelet, comment tous les problèmes du deuxième ordre peuvent être résolus à l'aide de la règle seulement et sans utilisation du compas, dès lors qu'un cercle est donné sur le papier. Il a également écrit Vorlesungen über synthetische Geometrie, édité de manière posthume à Leipzig par Carl Friedrich Geiser (de) et Heinrich Schröter (en) en 1867 ; une troisième édition par Rudolf Sturm a été publiée en 1887-1898.

Autres travaux mathématiques

Le reste des œuvres de Steiner se trouve épars dans de nombreuses revues, souvent dans le Journal de Crelle, dont le premier volume contient ses quatre premiers articles. Les plus importants sont ceux concernant les courbes et les surfaces algébriques, particulièrement le court article Allgemeine Eigenschaften algebraischer Curven (Propriétés générales des courbes algébriques). Celui-ci contient seulement des énoncés, et il n'y a aucune indication de la méthode par laquelle ils ont été obtenus, de sorte que, selon Otto Hesse, « ils sont, comme le dernier théorème de Fermat, des énigmes aux générations présentes et futures ». Des analystes éminents ont réussi à démontrer certains des théorèmes, mais il a fallu Luigi Cremona pour les démontrer tous, par une méthode synthétique uniforme, dans son livre sur les courbes algébriques. D'autres recherches importantes sont liées aux maxima et aux minima.

Les articles de Steiner ont été rassemblés et édités dans deux volumes (Gesammelte Werke, 1881-1882) par l'Académie de Berlin.